Urodził się 17 lipca 1938 roku na Kurpiach. Jest absolwentem Technikum Rolniczo – Łąkarskiego w Lidzbarku Warmińskim, które ukończył w 1959 r. W latach 1959-65 odbył studia filozoficzno – teologiczne w Seminarium Duchownym w Olsztynie. Pierwszą jego placówką duszpasterską był wikariat w parafii Najświętszego Serca Jezusowego w Olsztynie, gdzie pracował przez 8 lat. W 1973 roku przeniesiony został na samodzielną placówkę duszpasterską do Różyńska Wielkiego w dekanacie Pisz. Po 5 latach, tj w 1978 r. został przez władze kościelne przeniesiony do Zielonki Pasłęckiej, w której pełni swoje obowiązki duszpasterskie do dzisiaj.
To właśnie Zielonce Pasłęckiej poświęcił większość kapłańskiego życia. Dzięki jego zaangażowaniu 8 marca 1987 roku Ordynariusz Warmiński bp. Edmund Piszcz intronizował w kościele św. Jana Chrzciciela w Zielonce Pasłęckiej cudowny obraz Jezusa Miłosiernego oraz ustanowił niniejszy kościół parafialny Diecezjalnym Sanktuarium Jezusa Miłosiernego. Kustoszem sanktuarium ustanowił księdza Czesława Drężka. Coraz liczniej przybywającą rzeszę pielgrzymów przyciąga również Golgota wybudowana z polnych kamieni w latach 1986-1987 oraz pomnik poległych w czasie II wojny światowej i żołnierzy 27 Dywizji AK.
Dzięki staraniom księdza Czesława wybudowano także niezwykłą drogę krzyżową, która ciągnie się na przestrzeni 2,5 km.
We wrześniu każdego roku organizowane są w Zielonce Pasłęckiej uroczystości dożynkowe za plony, których gospodarzem jest również ks. Czesław Drężek – Diecezjalny Duszpasterz Rolników. Wszystkie działania podejmowane przez księdza Czesława Drężek przyczyniają się integracji mieszkańców naszej gminy, a także rozsławiają Ją daleko poza granicę województwa.
Honorowy obywatel Pasłęka od 6 czerwca 2003 roku.
